Кратные и криволинейные интегралы.
- Вычислить
интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным:
. - Вычислить
криволинейный интеграл 1-го рода:
где 
- Найти
координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями
Элементы теории поля.
Решение типового варианта контрольной работы.
Задача 8.1. Записать двойной интеграл в виде
повторного и изменить порядок интегрирования, если область интегрирования 
.
Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в направлении оси ОУ, т.к. любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает границу области D не более чем двух точках. Первую точку пересечения с линией у=х2 назовем точкой входа, а линию - линией входа, ее уравнение у=х2. Вторую точку пересечения с линией у=2-х назовем точкой выхода, а линию – линией выхода. Тогда повторный интеграл в правой части составлен из двух определенных: первый берется по переменному у, оси которого ОУ параллельны секущие прямые, он называется внутренним. Пределы интегрирования в нем зависят от х и совпадают с ординатами точек пересечения секущих с линией входа (нижний предел) и линией выхода (верхний предел интегрирования). При внутреннем интегрировании переменное х считается постоянным, поэтому его результатом является функция, которая после подстановки пределов интегрирования зависит от х. Второй интеграл по х берется от этой функции по переменному х, а пределы интегрирования в нем равны наименьшему (для нижнего) и наибольшему (для верхнего) значению проекций точек области D на ось ОХ:
При изменении порядка интегрирования линия входа в область D имеет уравнение х=0,
а линия выхода разбивается на две части, одна из которых имеет уравнение 
, а вторая – уравнение 
. По свойству аддитивности двойного интеграла он разбивается
на два, в каждом их которых сделана замена на повторный с внутренним интегрированием
по переменному х, а внешним интегрированием по переменному у:
Задача 8.2. Вычислить двойной интеграл по области 
, ограниченной графиками данных функций
Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в направлении
оси ОУ, поэтому заменяем двойной интеграл повторным с внутренним интегралом по
у, а внешним – по х. Линией входа в D является прямая 
,
линией выхода – парабола 
. Вычисляем
внутренний интеграл при постоянном х, применяя формулу Ньютона-Лейбница с нижним
пределом 
и верхним пределом 
Находим точки пересечения параболы и прямой из решения
системы
Полученные абсциссы точек пересечения и дают пределы интегрирования во
внутреннем интеграле.
Процесс сведения двойного интеграла к двухкратному сводится к следующему:
