Матрицы Аналитическая геометрия Векторная алгебра Начала анализа Кратные и криволинейные интегралы Ряды Исследование функций и построение графиков Теория вероятности

Выполнение типового варианта курсовой работы по математике

Исследование функций и построение графиков

 

План исследования функции

Найти область определения функции.

Определение. Областью определения функции  называется совокупность всех значений независимой переменной , для которых функция определена.

Определить является функция четной, нечетной или общего вида.

Определение. Функция , определенная на множестве , называется четной, если  выполняется условие  и , называется нечетной, если  выполняется условие  и .

График четной функции симметричен относительно оси , график нечетной – относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то исследование можно провести только для и при построении графика воспользоваться его симметричностью.

Определить является ли функция периодической.

  Определение. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что для   и . При этом число  называется периодом функции.

Наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству , является основным периодом функции.

Если функция периодическая, то исследование проводится на любом интервале, длина которого совпадает с основным периодом функции.

Определить координаты точек пересечения графика с осями координат, определить интервалы знакопостоянства функции.

Найти наклонные (в т.ч. горизонтальные) асимптоты и вертикальные асимптоты графика функции.

Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции , если  или , где - точка разрыва или граничная точка области определения функций.

Прямая  является горизонтальной асимптотой графика функции , если существует предел .

Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют пределы и .

При нахождении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.

Найти точки экстремума и интервалы возрастания (убывания) функции.

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной .

Достаточные условия возрастания (убывания) функции. Если функция   дифференцируема на интервале  и   для , то эта функция возрастает (убывает) на .

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая d-окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство , ().

Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. Функция  может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения функции и в которых первая производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Достаточные условия экстремума

I Если непрерывная функция  дифференцируема в некоторой d - окрестности точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума, с минуса на плюс, то - точка минимума.

II Если в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная существует и отлична от нуля , то в точке функция имеет экстремум. Если - максимум, если - минимум.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции.

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен выше (ниже) любой ее касательной на этом интервале.

Теорема. Если функция  во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную , то график функции в этом интервале выпуклый. Если же   - график вогнутый.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, является точкой перегиба.

Достаточное условие существования точек перегиба. Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой  есть точка перегиба.

Результаты проведенного исследования функции рекомендуется свести в таблицу, в первой строке которой указываются все значения , выделенные в результате исследования, как самой функции , так и ее производных  и , а также интервалы, на которые данными точками разбивается область определения. Во второй строке указываются значения функции на каждом из выделенных интервалов. В третьей строке выделяются критические точки функции и указывается знак первой производной на каждом интервале. В четвертой строке – знак второй производной на каждом интервале. В последней строке по знакам  определяется характер монотонности функции, по знакам выпуклость (вогнутость) графика функции, а также определяется характер выделенных точек (точки максимума, точки минимума, точки перегиба).

Построение графика функции рекомендуется начать с обозначения на координатной плоскости точек, выделенных в таблице и построения асимптот (если они есть). Для более точного построения можно вычислить значения функции в дополнительных точках.


На главную