Начала анализа
Найти 
.
Решение. Вычисление предела связано
с раскрытием неопределенности вида 
.
Для раскрытия этой неопределенности нужно разность преобразовать в частное, то
есть неопределенность свести к
неопределенности 
или 
.
Вариант решения заданий
Вычислить предел последовательности
.
Решение.
Распишем факториалы, стоящие в числителе и знаменателе через наименьший, то есть
через 
.
Ответ.
0.
Доказать, что 
.
Решение. По определению, предел функции 
при 
равен 7, если для любого 
существует такое 
, что для всех 
из 
- окрестности точки 
таких, что 
справедливо неравенство: 
Тогда 
. Следовательно, разность между значениями функции и числом
7 меньше 
для всех из 
окрестности точки . Тем самым утверждение, что доказано.
Вычислить пределы функций.
А)
Найти 
Решение. Прежде
всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем
дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби.
Функции 
и 
являются
бесконечно большими. Поэтому, 
. Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида 
.
Для
раскрытия этой неопределенности выделим в числителе и в знаменателе
в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим
дробь.
Ответ. 0.
Б)
Найти 
Решение. Для раскрытия
неопределенности в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель
на множители и сократить дробь на общий множитель.
Ответ. -9.
В) Найти 
.
Решение.
Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель
на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.
Ответ.
.
Г) Найти 
Решение.
Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно выделить первый замечательный
предел: 
Ответ. k.
Д) Найти 
.
Решение.
Для раскрытия неопределенности 
в этом случае, нужно выделить второй замечательный
предел:
.
Ответ.
.