Начала анализа
Найти. Решение. Вычисление предела связано с раскрытием неопределенности вида
. Для раскрытия этой неопределенности нужно разность преобразовать в частное, то есть неопределенность
свести к неопределенности
или
.
Вариант решения заданий
Вычислить предел последовательности
.
Решение. Распишем факториалы, стоящие в числителе и знаменателе через наименьший, то есть через
.
Ответ. 0.
Доказать, что
.
Решение. По определению, предел функции
при
равен 7, если для любого
существует такое
, что для всех
из
- окрестности точки
таких, что
справедливо неравенство:
Тогда
. Следовательно, разность между значениями функции и числом 7 меньше
для всех
из
окрестности точки
. Тем самым утверждение, что
доказано.
Вычислить пределы функций.
А) Найти
Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Функции
и
являются бесконечно большими. Поэтому,
. Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида
.
Для раскрытия этой неопределенности выделим в числителе и в знаменателе
в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.
Ответ. 0.
Б) Найти
Решение. Для раскрытия неопределенности
в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.
Ответ. -9.
В) Найти
.
Решение. Для раскрытия неопределенности
в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.
Ответ.
.
Г) Найти
Решение. Для раскрытия неопределенности
в этом случае, нужно выделить первый замечательный предел:
Ответ. k.
Д) Найти
.
Решение. Для раскрытия неопределенности
в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел:
.
Ответ.
.