Матрицы Аналитическая геометрия Векторная алгебра Начала анализа Кратные и криволинейные интегралы Ряды Исследование функций и построение графиков Теория вероятности

Выполнение типового варианта курсовой работы по математике

Начала анализа
Найти . Решение. Вычисление предела связано с раскрытием неопределенности вида . Для раскрытия этой неопределенности нужно разность преобразовать в частное, то есть неопределенность  свести к неопределенности  или .

Вариант решения заданий

Вычислить предел последовательности

.

Решение. Распишем факториалы, стоящие в числителе и знаменателе через наименьший, то есть через .

Ответ. 0.

Доказать, что .

Решение. По определению, предел функции  при  равен 7, если для любого  существует такое , что для всех  из  - окрестности точки  таких, что  справедливо неравенство:

 Тогда . Следовательно, разность между значениями функции и числом 7 меньше  для всех  из  окрестности точки . Тем самым утверждение, что  доказано.

Вычислить пределы функций.

А) Найти

Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Функции  и  являются бесконечно большими. Поэтому, . Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида .

Для раскрытия этой неопределенности выделим в числителе и в знаменателе   в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.

Ответ. 0.

Б) Найти

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.

Ответ. -9.

В) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.

Ответ. .

Г) Найти

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно выделить первый замечательный предел:

Ответ. k.

Д) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел:.

Ответ. .


На главную