Задачи по сопромату Расчеты на растяжение и сжатие Определить осевые моменты инерции Дополнительные задачи на сдвиг Расчет напряжений и деформаций валов Построить эпюры крутящих моментов Расчет балок на жесткость

Строительная механика

Неразрезные балки

 Неразрезной балкой называется брус, который перекрывает два или более пролетов (рис. 1).

 Число лишних неизвестных подсчитывается по формуле:


Л = –W = Co – 3D = Co – 3. (1)

  В качестве основной системы выберем совокупность однопролетных шарнирно опертых балок с неизвестными опорными моментами.

 Запишем систему канонических уравнений:

  (2)

где k – общее число отброшенных связей.

  Из рассмотрения единичных эпюр следует, что в каждое из канонических уравнений (2) будет входить по три неизвестных, только в первое и последнее – по два неизвестных:

 

  


 (3)

 Перемещения δij будем подсчитывать по формуле:

  (4) 

то есть, пользуясь правилом Верещагина, получим

 

 

  (5)

где Ωn и Ωn+1 – площади эпюр моментов в n–й и (n + 1)–й однопролетных балках от внешней нагрузки. а an и bn+1 – расстояния от центров тяжести этих эпюр до (n – 1)- й и (n + 1)-й опор соответственно. Параметр  представляют собой правую фиктивную опорную реакцию в n–м пролете при загружении его распределенной нагрузкой в виде эпюры моментов в n–й однопролетной балке, а– левая фиктивная опорная реакция в (n+1)-м пролете при загрузке его распределенной нагрузкой в виде эпюры моментов этой однопролетной балки.

 Подставляя значения коэффициентов (5) в канонические уравнения (3), запишем

  (6)

 Чтобы подчеркнуть, что за неизвестные Хi приняты опорные моменты Мi, в дальнейшем будем вместо Хi писать Мi. Кроме того, умножим уравнение (6) на 6ЕI, тогда

  Окончательно запишем:

  (7) 

где   и  - приведенные пролеты,

I – момент инерции поперечного сечения любого пролета.

 Уравнение трех моментов (7) или уравнение Клайперона было выведено в 1857 году. Если моменты инерции в пролетах – постоянные, то уравнение (7) принимает вид:

  (8)

 После определения неизвестных опорных моментов строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, используя формулы

  (9)

 Прогибы в неразрезной балке n–го пролета определяют как в однопролетной балке при наличии опорных моментов Мn–1, Мn и заданной пролетной нагрузки.

 Пример 1 (рис. 3). Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для трехпролетной неразрезной балки постоянного поперечного сечения.

  Запишем уравнения трех моментов (8) для рассматриваемой балки:

n = 1:

n = 2:

 Учитывая, что М0 = М3 = 0, а также, что  запишем два вышеприведенных уравнения как

где  Окончательно имеем:

  Решая полученные два уравнения, находим:

  Затем определяем поперечные силы по каждому участку:

  Пример 2. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для однопролетной балки, показанной на рис. 4.

 Запишем уравнение трех моментов (8) при n = 1:

или  где

 Затем находим

и строим эпюры M и Q (рис. 4).

Построение линий влияния в неразрезных балках

  Усилия в статически неопределимых системах зависят от соотношений в размерах поперечных сечений. Важно обоснованно задаться размерами поперечных сечений. Для этого и служат приближенные методы расчета. Приближенными называют такие методы расчета, при применении которых вводятся больше упрощений, чем в классических методах расчета. Дополнительные допущения дают возможность сократить объем вычислений и исключить решение систем канонических уравнений.

  Пример. Рассмотрим верхний этаж рамы, изображенной на рис. 2. Пусть все стойки этажа имеют одну высоту h и одинаковый момент инерции


Сопромат Совместное действие изгиба и кручения