Задачи по сопромату Сварная балка Расчет толстостенных труб Упругий удар Неупругое деформирование Лабораторный практикум Лабораторные работы Строительная механика Расчет шпренгельных ферм Бесшарнирная арка

Задачи по сопротивлению материалов

Совместное действие изгиба и кручения

Для выявления опасного сечения при совместном действии изгиба и кручения строятся эпюры крутящих и изгибающих моментов по правилам глав 3 и 4. Вопрос о прочности стержня в этом случае решается с помощью тех или иных критериев прочности. Условия прочности имеют вид:

  по критерию наибольших нормальных напряжений:

  по критерию наибольших относительных деформаций:

  по критерию наибольших касательных напряжений:

  по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения:

.

На основе приведенных соотношений могут быть выведены формулы для расчета, например, диаметров валов круглого сечения. Так, формулы для расчетных диаметров имеют вид:

  по критерию наибольших касательных напряжений:

 ; (5.3.1)

 по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения:

  (5.3.2)

Задача 5.3.1. Рассчитать радиус круглого цилиндрического вала с прямой осью, несущего два шкива, весом каждый по 1 кН и с одинаковыми диаметрами D = 0,5 м. Длина вала l = 0,5 м (рис. 5.3.1). Натяжение в ведущих ремнях Р1 = 0,8 кН, в ведомых Р2 = 0,2 кН. Ремни левого шкива расположены вертикально, правого – горизонтально, Radm = 65 МПа. Собственным весом вала пренебречь. Использовать критерии прочности наибольших касательных напряжений и удельной потенциальной энергии формоизменения.

Решение. Определяем величину внешних усилий (моментов пар сил и сосредоточенных сил), передаваемых на вал со стороны шкивов. Величина внешних скру-чивающих моментов МI и MII определится разностью натя-жений в ремнях:

MI  = 800·0,25 – 200·0,25 = 150 Н·м; MII = 200·0,25 – 800·0,25 = –150 Н·м.

Кроме кручения вал испытывает изгиб в вертикальной плоскости от веса шкивов G1 = G2 = 1 кН и от суммарной силы натяжения в ремнях левого шкива РI = 0,8 + 0,2 = 1 кН, а также изгиб в горизонтальной плоскости от суммарной силы натяжения в ремнях правого шкива РII = 0,8 + 0,2 = 1 кН. Схема загружения вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а также эпюры крутящего момента Т и изгибающих моментов Мв и Мг показаны на рис. 5.3.2. Самым напряженным является сечение, где расположен левый шкив и в котором

Т = 150Н·м, Мв = 180Н·м;

Мг = 20Н·м.

  Для расчета диаметра вала воспользуемся формулами (5.3.1) и (5.3.2), имея в виду, что в них

.

В результате получим по критерию наибольших касательных напряжений:

= 0,0342 м = 3,42 см;

по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения:

Вал, рассчитанный по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения, более экономичен.

Задача 5.3.2. Схема нагружения вала рулевой машины представлена на рис. 5.3.3. Требуется подобрать диаметр вала, используя критерий наибольших касательных напряжений (dI ) и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (dII), и считая Radm = 30 МПа.

Ответ: dI =0,266 см; dII =0,26 см.

Задача 5.3.3. Керамическая труба подвержена действию крутящего момента Т = 0,08 кН·м и изгибающего момента  М = 0,06 кН·м. Определить запас прочности трубы, если предел прочности материала σut = 100 МПа, наружный диаметр трубы D = 0,05 м, внутренний d = 0,04 м. Расчет вести по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения.

У к а з а н и е. Запасом прочности nВ считать отношение предела прочности к расчетному сопротивлению.

Ответ: nВ = 8,7.

Задача 5.3.4. Вал со шкивами диаметрами D1 = 0,4 м и D2 = 0,6 м (рис. 5.3.4) вращается со скоростью n0 = 100 об/мин и передает мощность

U = 30 кВт.

Собственный вес левого шкива G1 = 2 кН, правого шкива G2 = 3 кН, собственным весом вала пренебречь. Ремни левого шкива направлены вертикально, правого – горизонтально. У обоих шкивов натяжение в ведущем ремне вдвое больше, чем в ведомом. Рассчитать диаметр вала (единый по длине), используя критерий наибольших касательных напряжений (dI ) и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (dII), и считая Radm = 80 МПа.

У к а з а н и е. Для расчета скручивающего момента Мк нужно воспользоваться формулой (3.2.2):

  (U в кВт),

Ответ: dI = 10,5 см; dII = 10,4 см.

 Задача 5.3.5. Стержень с ломаной осью и диаметром D = 0,1 м одним концом защемлен, а на другом нагружен силой F = 5 кН. Размеры участков стержня указаны на рис. 5.3.5. Найти эквивалентное напряжение, используя критерий удельной потенциальной энергии формоизменения.


Ответ: = 109 МПа.

Задача 5.3.6. Пользуясь критерием наибольших касательных напряжений, подобрать диаметр стального вала лебедки (рис. 5.3.6) грузоподъемностью F = 40 кН при невыгоднейшем положении груза. Диаметр посаженного на вал барабана D = 0,4 м. Расстояние между осями подшипников вала равно 1 м. Допускаемое напряжение Radm = 100 МПа.

Ответ: d = 10,9 см.

Задача. Построить эпюру нормальных напряжений и определить положение нейтральной линии в прямоугольном поперечном сечении короткого столба, нагруженного вертикальной сосредоточенной силой F

 Задача. На рис. 5.2.14 изображено поперечное сечение бруса и показаны центры тяжести четырех простых элементов, составляющих это поперечное сечение. Требуется построить ядро сечения для заданного поперечного сечения. Решение. Найдем положение центра тяжести всего поперечного сечения. Главная ось у совпадает с осью симметрии сечения. Вычислим площади четырех простых элементов:

Задача. Подобрать диаметры вала на участках АВ и СD для коленчатого вала, нагруженного так, как показано на рис. 5.3.7. Использовать критерий наибольших касательных напряжений (dI) и критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (dII), считая Radm =80 МПа. Принять F = 2 кН, а = 0,1 м.


Сопромат Опытная проверка теории косого изгиба