Задачи по сопромату Сварная балка Расчет толстостенных труб Упругий удар Неупругое деформирование Лабораторный практикум Лабораторные работы Строительная механика Расчет шпренгельных ферм Бесшарнирная арка

Задачи по сопротивлению материалов

Определение перемещений при помощи интеграла Мора

 Формула для определения перемещений, называемая интегралом Мора, имеет вид

  (4.6.1)

 Для вычисления линейного перемещения в произвольной точке балки с помощью формулы (4.6.1) необходимо выполнить последовательно следующие операции:

составить уравнения изгибающих моментов М от заданной нагрузки для каждого участка балки;

к рассматриваемой балке приложить силу, равную единице, в той точке, где определяется перемещение. Единичная сила прикладывается по предполагаемому направлению этого перемещения;

составить уравнения изгибающих моментов от единичной силы для каждого участка балки;

вычислить сумму интегралов (4.6.1) от произведения обоих моментов М и, деленного на жесткость поперечного сечения балки (EI).

 Для вычисления угла поворота поперечного сечения к рассматриваемой балке следует приложить единичный сосредоточенный момент, а затем составлять уравнения изгибающих моментов.

 По способу (правилу) Верещагина операция интегрирования (4.6.1) заменяется перемножением площади первой эпюры М на ординату второй эпюры  под центром тяжести первой.

  У к а з а н и я

 1. Произведение площади одной эпюры на ординату другой считается положительным, если площадь и ордината расположены по одну сторону от оси балки.

 2. Если в пределах рассматриваемого участка обе эпюры (М и) линейны, то безразлично площадь какой эпюры брать, а на какой эпюре – ординату.

  3. Если одна из эпюр (М) криволинейна, а вторая – ломаная, следует разбить вторую эпюру () на отдельные участки, в пределах которых она линейна.

 4. Если обе эпюры ломаные и границы участков у них не совпадают, то надо разбить обе эти эпюры на одинаковое число линейных участков, чтобы в пределах этих полученных участков обе эпюры были линейные и границы участков совпадали.

  5. Для перемножения двух трапециевидных эпюр (рис. 4.6.1) удобно использовать формулу

  (4.6.2)

 6. На рис. 4.6.2 приведены значения площадей некоторых нелинейных эпюр и координаты их центров тяжести. Этими данными необходимо пользоваться, если балка загружена равномерно распределенной по длине нагрузкой или треугольной распределенной нагрузкой.

 7. Если значение перемещения  получилось со знаком минус, то это указывает, что реальное перемещение рассматриваемой точки противоположно выбранному направлению единичной силы.

 Эпюру изгибающих моментов М от заданной нагрузки обычно называют грузовой, а эпюру – единичной.

 Задача 4.6.1. Определить вертикальное перемещение точки В консольной балки, изображенной на рис. 4.6.3.

 Решение. Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней сосредоточенной силы F:  МВ = 0, МА = –F2l (эпюра линейная).


По условию задачи требуется определить вертикальное перемещение уВ точки В консольной балки, поэтому строим единичную эпюру  от действия вертикальной единичной силы Fi = 1, приложенной в точке В.

 Учитывая, что консольная балка состоит из двух участков с разной жесткостью на изгиб, эпюры и М перемножаем с помощью правила Верещагина по участкам отдельно. Эпюры М ипервого участка перемножаем по формуле (4.6.2), а эпюры второго участка – как площадь эпюры М второго участка Fl2/2 на ординату 2l/3 эпюры  второго участка под центром тяжести треугольной эпюры М этого же участка.

 В этом случае формула (4.6.1) дает:

 Задача 4.6.2. Определить вертикальное перемещение точки В однопролетной балки, изображенной на рис. 4.6.4. Балка имеет постоянную по всей длине жесткость на изгиб EI.

 Решение. Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней распределенной нагрузки: МА = 0; MD = 0;

.

  Прикладываем в точке В единичную вертикальную силу Fi = 1 и строим эпюру (рис. 4.6.4):

откуда

Ra = 2/3;  откуда Rd = 1/3, поэтому Ma = 0; Md = 0; .

 Разделим рассматриваемую балку на 3 участка. Перемножение эпюр 1-го и 3-го участков не вызывает трудностей, так как перемножаем треугольные эпюры. Для того чтобы применить правило Верещагина ко 2-му участку, разобьем эпюру М 2-го участка на две составляющие эпюры: прямоугольную и параболическую с площадью (рис. 4.6.2). Центр тяжести параболической части эпюры М лежим посередине 2-го участка.


Таким образом, формула (4.6.1) при использовании правила Верещагина дает:

  Задача 4.6.3. Определить вертикальное перемещение уА точки А консольной балки, изображенной на рис. 4.2.4.

 Ответ: yA = 224Fl3/(Ed 4).

Задача. Определить вертикальное перемещение уВ точки В консольной балки, нагруженной сосредоточенным моментом m на конце консоли

Простейшие статически неопределимые балки Статически неопределимой балкой называется такая балка, для определения опорных реакций которой недостаточно одних только уравнений равновесия. Будем рассматривать один раз статически неопределимые балки, т.е. балки, для определения опорных реакций которых необходимо привлечь одно дополнительное уравнение.

Задача. Построить эпюру изгибающих моментов и поперечных сил для двухпролетной балки


Сопромат Опытная проверка теории косого изгиба