Задачи по сопромату Расчеты на растяжение и сжатие Определить осевые моменты инерции Дополнительные задачи на сдвиг Расчет напряжений и деформаций валов Построить эпюры крутящих моментов Расчет балок на жесткость

Задачи по сопротивлению материалов

Расчет напряжений и деформаций валов

В поперечных сечениях вала при кручении действуют только касательные напряжения, которые вычисляются по формуле:

  (3.2.3)

где ρ – текущий радиус точек сечения; Iρ – полярный момент инерции сечения.

 Из формулы (3.2.3) следует, что при ρ = 0 имеем τ = 0, а при ρ = ρmax =R получим

  (3.2.4)

где Wρ = Iρ/ρmax = Iρ/R – полярный момент сопротивления сечения.

Деформация кручения характеризуется углом закручивания φ, который в общем случае определяется по формуле

а в частном случае при GIρ = const , T = const – по формуле

 . (3.2.5)

 В этих формулах l – расстояние между закручиваемыми сечениями вала. В расчетах часто используется так называемый относительный угол закручивания θ = φ/l. Из формулы (3.2.5) следует, что

  (3.2.6)

Поскольку кручение представляет собой по существу неравномерный сдвиг, то закон Гука и выражение для потенциальной энергии имеют вид аналогичных соотношений из п. 3.1.

Закон Гука при кручении имеет вид

  (3.2.7)

Удельная потенциальная энергия рассчитывается по формуле

 

а полная энергия находится из выражения

  В частном случае GIp = const, T = const выражение для потенциальной энергии имеет вид

  (3.2.8)

Задача 3.2.6. Стальной коленчатый вал ОВС (рис. 3.2.6) принимает на плечо ВС усилие F = 100 Н. Найти наибольшее касательное напряжение и угол закручивания плеча ОВ, имеющего диаметр d = 8 мм и длину l = =25мм. Модуль упругости G = 8·104 МПа, плечо а силы F равно 20 мм.

 Решение. Определим величину внешнего момента:

 Поскольку к элементу ОВ больше никаких внешних сил не приложено, то, очевидно, что внутренний крутящий момент равен T = M = 2 Н·м=200 Н·см.

  Для вычисления касательных напряжений и угла закручивания необходимо найти геометрические характеристики поперечного сечения элемента ОВ. Полярный момент сопротивления равен 

 Полярный момент инерции равен

  Наибольшее касательное напряжение определим по формуле (3.2.4)

Найдем угол закручивания сечения 2 – 2 относительно сечения 1 – 1. Как видно из рис. 3.2.6, на этот же угол повернется плечо ВС. Согласно формуле (3.2.5), получим

Задача 3.2.7. Найти, на какой угол повернется торец стального вала, изображенного на рис. 3.2.7, если сила F = 1000 Н, плечо а = 50 см, длина вала l = 80 см, а его диаметр d = 5 см.

Ответ: φ = 0,5 град.

Задача 3.2.8. Найти максимальные касательные напряжения при условиях задачи 3.2.7.

Ответ: τmax = 20 МПа.


Задача 3.2.9. Шестеренка В, насаженная на вал СК и имеющая диаметр D = 40 мм (рис. 3.2.8), принимает окружное усилие F = 200 Н. Найти напряжения в поперечном сечении вала СК, если его диаметр d = 8 мм.

Ответ: τ = 40 МПа.

Задача 3.2.10. Для вала, показанного на рис. 3.2.9, построить эпюру изменения по длине вала величины касательного напряжения в крайней точке поперечного сечения.

Ответ: эпюра τ имеет вид кубической параболы.

Задача 3.2.11. Вал круглого поперечного сечения диаметром 10 см и длиной 3 м закручен на угол 2о. Чему равно наибольшее касательное напряжение τmax, если модуль сдвига материала вала равен G = 8·104 МПа?

Ответ: τmax = 46,5 МПа.

  Задача 3.2.12. Два вала – круглого и кольцевого поперечного сечений, имеющие один и тот же вес, передают одинаковый крутящий момент. В каком из валов наибольшие касательные напряжения будут больше и во сколько раз, если отношение внутреннего и наружного диаметров полого вала равно 0,6?

Ответ:   .

Задача 3.2.13. Тонкостенная труба длиной 5 м со средним диаметром 15 см и толщиной стенки 0,25 см закручивается моментами, приложенными по торцам, до величины касательных напряжений τ = 56 МПа. Найти полный угол закручивания трубы, если G = 8·104 МПа.

Ответ: φ = 2,67о.

Задача 3.2.14. Для условий задачи 3.2.3 в предположении, что вал ступенчатый dI = 5,2 см; dII = 6,9 см; dIII = 7,8 см, модуль сдвига материала вала G = 8·104 МПа, построить эпюру углов закручивания, приняв за начало отсчета сечение, где приложен момент М0.

У к а з а н и я

Вначале следует построить эпюру крутящих моментов Тi.

Далее необходимо рассчитать углы закручивания по отдельным участкам вала. Углы закручивания отдельных сечений по отношению к начальному получаются алгебраическим сложением углов закручивания на участках. 

При вычислении углов φi на отдельных участках по формуле (3.2.5) значения Тi берутся с эпюры Тi с учетом знаков. Учитывается и знак отрезков li: для сечений, лежащих справа от условно неподвижного, принимается знак «+», слева – «–».

Ответ: φА = 0; φВ = 0,23о; φС = 0,52о; φD = 0,35о. 

Расчеты на прочность и жесткость валов круглого и кольцевого сечений При расчете валов требуют, чтобы они удовлетворяли условиям прочности и жесткости. Условие прочности требует, чтобы максимальное касательное напряжение, вычисленное по формуле (3.2.4), было меньше или в предельном случае равно расчетному сопротивлению на срез Rs для материала вала

Задача. Для вала, представленного в предыдущей задаче (рис. 3.2.3), рассчитать по участкам диаметры кольцевого сечения при отношении диаметров k = dвн/d = 0,8.

Статически неопределимые задачи на кручение Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики.


Сопромат Совместное действие изгиба и кручения