Задачи по сопромату Расчеты на растяжение и сжатие Определить осевые моменты инерции Дополнительные задачи на сдвиг Расчет напряжений и деформаций валов Построить эпюры крутящих моментов Расчет балок на жесткость

Задачи по сопротивлению материалов

Геометрические характеристики плоских сечений

 Геометрическими характеристиками плоских сечений являются площадь, статические моменты плоских сечений, положение центра тяжести, моменты инерции и моменты сопротивления.

Статические моменты сечений и определение центра тяжести плоских сечений

 Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения:

  (2.1.1)

 Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния от этой оси (рис. 2.1.1):

 ; (2.1.2)

   (2.1.3)

  (2.1.4)

где yc – расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси x; xc – расстояние от центра тяжести всего сечения до оси y.

 Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси:

  (2.1.5)

 В формулах (2.1.5) введены обозначения: А1, А2, …, Аn – площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение; x1, y1, x2, y2, x3, y3, … , xn, yn – координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей х и у.

 Из выражений (2.1.4) можно определить координаты центра тяжести плоского сечения:

  (2.1.6)

 Для сложного поперечного сечения формулы (2.1.6) можно представить в следующем виде

  (2.1.7)

 Зависимости между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей х и х1, а также у и у1 имеют вид:

  (2.1.8)

где параметры a, b показаны на рис. 2.1.2.

  У к а з а н и я.

 1. Изменение положительного направления оси у вызывает изменение знака статического момента Sx. Аналогично, изменение положительного направления оси х вызывает изменение знака статического момента Sy. 

 2. Статический момент сечения равен нулю относительно любой оси, проходящей через центр тяжести этого сечения.

 3. Если плоское сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда проходит через центр тяжести плоского сечения, а поэтому, согласно п.2, статический момент сечения относительно оси симметрии всегда равен нулю.

  4. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей симметрии.

 Задача 2.1.1. Определить центр тяжести треугольного поперечного сечения, показанного на рис. 2.1.3.

 Решение. Поперечное сечение представляет собой равнобедренный треугольник, а следовательно, ось у – ось симметрии и центр тяжести рассматриваемого поперечного сечения лежит на этой оси. 

 Для нахождения центра тяжести используем вторую из формул (2.1.6). Запишем

  (а)

 Из подобия треугольников  и  находим

  или  откуда 

 Найденное значение by подставляем в формулу (а) для вычисления статического момента Sx:

  В этом случае вторая из формул (2.1.6) дает

 На рис. 2.1.3 проводим линию у = ус = h/3. Центр тяжести треугольного поперечного сечения будет лежать на пересечении проведенной линии и оси у. Координаты центра тяжести этого сечения: х = 0, у = h/3.

 Задача 2.1.2. Определить статические моменты плоского прямоугольного сечения относительно осей х и у (см. рис. 2.1.4).

 Ответ: Sx = bh2/2;

 Sy = hb2/2.

Расчеты на растяжение и сжатие mстатически неопределимых стержневых систем Задача (Пример взят из учебника А.В. Даркова, Г.С. Шпиро «Сопротивление материалов». – М.: «Высшая школа», 1975. – Изд.4-е. – 656с.). Дана статически неопределимая плоская шарнирно - стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса, опертого на шарнирную опору и прикрепленного к двум стержням ВВ1 и СС1 при помощи шарниров.

Влияние температуры на напряжение и деформации в брусьях При нагревании на стержень, заделанный одним концом, увеличит свои поперечные и продольные размеры.

 Задача. Определить координаты центра тяжести плоского сечения в форме половины круга радиусом R


Сопромат Совместное действие изгиба и кручения