Действия над матрицами Нахождение обратной матрицы Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Основные элементарные функции Исследование функции, построение графика Функции трех переменных

Функции трех переменных

Наряду с существованием функций двух переменных, существует функции трех переменных u(x, y, z). Пределы и непрерывность для нее определяется аналогично функции двух переменных.

Аналогично можно подсчитать и частные производные для функции трех переменных

Обратим внимание на отличие в написании производных . Возьмем теперь вектор, проекциями которого на оси координат будут служить значения частных производных в выбранной точке Р(x, y, z).

Назовем этот вектор градиентом функции u(x, y, z) и будем обозначать его символами gradu и .

Градиентом функции u(x, y, z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

Проекции градиента зависят от выбора точки Р(x, y,z) и изменяются с изменением координат этой точки. Направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции.

Поверхностью уровня для функции трех переменных u(x, y, z) называется поверхность, заданная уравнением u(x, y, z)=u0, где u0=u(x0, y0, z0).

Справедлива Теорема:

Градиент функции u(x, y, z) в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Например: Пусть - расстояние от точки до начала координат. Тогда

То есть градиент r направлен по радиус-вектору и модуль его равен единице.

В случае функции двух переменных u=u(x, y) градиент лежит в плоскости Оxy и перпендикулярен к линии уровня (u(x, y)=с).

Задачи

Выразить косинус угла между векторами  и  через направляющие косинусы этих векторов (направляющие косинусы- косинусы углов между вектором и осями координат).

1.2 Дан тетраэдр ABCD, где, например, A(0,1,1), B(1,2,3), C(3,1,0), D(2,1,3). Найти:

1.2.1 Координаты вектора ;

1.2.2 Длину стороны AB;

1.2.3 угол между векторами  и ;

1.2.4 Площадь грани ABC;

1.2.5 Вектор нормали к грани ABC;

1.2.6 Угол между гранями ABC и ABD;

1.2.7 Объем тетраэдра ABCD;

Исследование операций Область математической науки, изучающая вопросы выбора (принятия) решений по организации и управлению целенаправленными процессами (операциями) называется исследованием операций. Характерной существенной особенностью исследования операций является стремление найти наиболее эффективное (оптимальное) решение задачи принятия решений. Общая задача математического программирования может быть сформулирована следующим образом. Типичными задачами, решаемыми в исследовании операций Переход от неравенств к уравнениям в задачах математического программирования Все неравенства, описанные выше определяют некоторое множество значений величин х1, х2, хn, которые удовлетворяют этим неравенствам. Покажем как от системы неравенств перейти к равенстам вводя дополнительные переменные.


Математика