Действия над матрицами Нахождение обратной матрицы Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Основные элементарные функции Исследование функции, построение графика Функции трех переменных

Исследование функции, построение графика

Далее займемся исследованием функций, применяя полученные знания.

Если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)<f(х0) или f(x) > f(х0), то точка х0 называется точкой экстремума функции f(x) (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если х0 – экстремальная точка функции f(x), то первая производная f’(х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: х0 является экстремальной точкой функции f(x), если ее первая производная f’(x) меняет знак при переходе через точку х0: с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме.

Точка х0 называется точкой перегиба кривой y=f(х),если при переходе через точку х0 меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если х0 – точка перегиба кривой y=f(х), то вторая производная f’’(х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: х0 является точкой перегиба кривой y=f(х), если при переходе через точку х0 вторая производная f’’(х) меняет знак.

Прямая yас=kх+b называется наклонной асимптотой кривой y=f(х), если расстояние от точки (x; f(х)) кривой до этой прямой стремится к нулю при х® Ґ . При этом

При k=0 имеем горизонтальную асимптоту:y=b. Степенные ряды Примеры решения задач математика

Если

то прямая х=а называется вертикальной асимптотой.

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

П. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решение уравнений y’(х)=0 и y’(х)=Ґ ;

2) точки, “подозрительные” на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

Исследование графика функции по второй производной

Пример . Построить график функции , используя общую схему исследования функции.

 

Функции нескольких переменных Функции двух переменных, их график, непрерывность Рассмотрим два множества. Пусть множество D есть подмножество множества R2={(х,y)} на плоскости, т.е. DМ R2, а множество Z есть подмножество множества R на прямой, т.е.ZМ R.

Геометрическим изображением функции двух переменных z=f(x; y) будет служить некоторая поверхность, которая может быть названа графиком этой функции

Пример. Вычислить

Частные производные Мы видели, что понятие производной функции оказалось очень полезным для исследования функций одной переменной. Но как применить это понятие для функции двух переменных. Можно считать одну переменную постоянной и взять производную по другой – так мы получим частные производные.

Пример. Найти f’x(3;-2), если Решение. Найдем сначала частную производную функцию по х. При дифференцировании по переменной х данная функция z является показательной (здесь основание степени y постоянно).

Пример. Найдем частные производные второго порядка от функции


Математика