Действия над матрицами Нахождение обратной матрицы Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Основные элементарные функции Исследование функции, построение графика Функции трех переменных

Основные элементарные функции. Пределы элементарных функций. Свойства пределов

К основным элементарным функциям относятся:

1) степенная функция y=xn

2) показательная функция y=ax

3) логарифмическая функция y=logax

4) тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

5) обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.

Предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке

Это свойство функций и называется непрерывностью в точке х0.

Функции, полученные из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа композиций, называются элементарными.

При вычислении пределов функций обычно пользуются следующими основными теоремами о пределах:

1. , где С-константа 2. Константа выносится из-под знака предела.

Если пределы существуют и конечны, то

3. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов.

4. и если , то

5.

Нахождение линейной скорости вращения. 

Скорость точки  твердого тела, вращающегося с угловой скоростью во­круг неподвижной оси, определяется фор­мулой Эйлера , где , где  — некоторая неподвижная точка оси (рис. 5).

 


Рис.5

6. Смешанным произведением трех векторов ,  и  называется число, равное

  (5)

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Предел произведения равен произведению пределов. Предел частного равен частному пределов. Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям.

 

Рассмотрим конкретные примеры пределов: Найдем Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности типа . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на х4. Имеем неопределенность вида {0/0} в тригонометрическом выражении. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела, но в первом замечательном пределе знаменатель дроби и аргумент синуса должны совпадать.

Непрерывность функции, разрывы Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х0 – предельная точка множества Е.

Свойство нерерывности сложной функции Если функция u=g(x) непрерывна в точке х0 и функция y=f(u) непрерывна в точке u0=g(x0), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х0. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.


Математика