Действия над матрицами Нахождение обратной матрицы Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Основные элементарные функции Исследование функции, построение графика Функции трех переменных

Действия над матрицами и линейные преобразования

Нахождение обратной матрицы

Для квадратных матриц любого порядка А можно найти так называемую обратную матрицу А-1, удовлетворяющую условию А·А-1 = А-1·А = Е

Для матриц третьего порядка вид обратной матрицы следующий:

Здесь в матрице, транспонированной по отношению к А, каждый элемент заменен его алгебраическим дополнением, деленным на определитель матрицы А. Для матриц другого порядка формула будет аналогична: элемент обратной матрицы - определитель на латыни называется детерминант, поэтому его иногда обозначают так.

Например, найдем обратную матрицу к матрице A

Как видно из формулы А-1, нам придется делить на определитель А, поэтому важно, а не окажется ли он равен нулю? Разложим А по первой строке, это нам удобно, т.к. там много нулей.

Определитель нулю не равен, значит обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу) то есть

Мы сами можем проверить результат, Известно, что А<*А = Е. Так ли это?

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Векторным произведением двух векторов  и  называется вектор , длина которого равна произведению длин векторов   и на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам  и  так, что векторы , и  образуют правую тройку векторов (рис. 3):

  (4)

Геометрически  равен площади S параллелограмма, построенного на векторах  и :

 


Рис. 3

Условие коллинеарности векторов:

Если , то   (и наоборот), т. е.

С матрицами можно производить операции сложения и вычитания, если их размеры совпадают.

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц.

Пример : Доказать, что произведение матрицы А на единичную матрицу Е, равно самой матрице А.

Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени

Например, решим матричным способом систему

Как вы понимаете, если мы возьмем систему трех уравнений с тремя неизвестными или n уравнений с n неизвестными, то формулы останутся те же:


Математика