Вычислить объем цилиндрического тела Вычисление площади криволинейной поверхности Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах бВычислить массу дуги Вычислить момент инерции Вычислить повторный интеграл

Математика курсовая. Дифференциальные уравнения, интегралы

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ

, , . (9)

Обозначим через  множество всех решений СОЛДУ

, ,

и сформулируем свойства этого множества.

Утверждение 1. Множество  – линейное пространство.

В самом деле, сумма любых двух решений СОЛДУ (9) есть
решение этой же системы; умножение всякого решения на число приводит снова к решению системы. Аксиомы линейности для пространства  легко проверяются; нулевым элементом пространства   является тривиальное решение СОЛДУ (9) .

Утверждение 2. Пространство  изоморфно пространству ;
размерность   равна .

В самом деле, для ; отображение  – гомоморфизм, поскольку операции сложения решений СОЛДУ (9) и умножение решения на число приводят к этим же действиям над образами решений в . Обратное отображение реализуется с помощью решения задачи Коши для СОЛДУ  и в силу линейности операций дифференцирования и интегрирования вектор-функции также определяют гомоморфизм. Итак, рассмотренное отображение взаимно однозначное и гомоморфное, поэтому изоморфное. Размерности изоморфных пространств совпадают.

Произвольные вектор-функции , называются линейно независимыми на , если выполнение при  равенства  влечет

.

В противном случае функции  называются линейно
зависимыми на . Линейная зависимость функций  
означает, что существует ненулевой набор постоянных ,
такой, что при всех   .
Очевидно, что если   линейно зависимы на , то при каждом  векторы  также линейно зависимы.
Обратное неверно, поскольку коэффициенты  в определении линейно независимых векторов не зависят от .


Вычисление объема тела