Вычислить объем цилиндрического тела Вычисление площади криволинейной поверхности Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах бВычислить массу дуги Вычислить момент инерции Вычислить повторный интеграл

Математика курсовая. Дифференциальные уравнения, интегралы

Метод интегрируемых комбинаций

Иногда при решении СДУ  удается преобразовать уравнения СДУ к ДУ относительно некоторой комбинации искомых функций, которое легко интегрируется. В результате находим соотношение вида , связывающее искомые функции  и аргумент  (это соотношение называют первым интегралом СДУ). Очевидно, что если найти  первых интегралов , и они окажутся линейно независимыми относительно  (якобиан ), то СДУ решена, и ее ответ записывается либо в виде общего интеграла – совокупности  линейно независимых первых интегралов, либо в виде общего решения (после того, как  уравнений , разрешены относительно ).

ПРИМЕР 5. Решить СДУ

Решение. СДУ состоит из двух нелинейных ДУ. Ее можно свести к одному ДУ , но его решение достаточно сложное. В то время, как интегрируемые комбинации очевидны; складываем оба уравнения системы и получаем ДУ  относительно комбинации функций . Решаем ДУ разделением переменных , после интегрирования имеем  или  – первый интеграл СДУ.

Вычитая уравнения, получим ДУ  или  – также первый интеграл СДУ. Обозначим через  и  и составим якобиан

 

в при  (при  СДУ сводится к ДУ ).

Заметим, что не всякое соотношение, связывающее неизвестные функции, аргумент и постоянную, является первым интегралом решаемой СДУ.

Первым интегралом СДУ ,  
называется такое соотношение вида , которое обращается в тождество при подстановке всякого решения СДУ, при этом сама функция  не тождественна постоянной.

СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ

Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые


Вычисление объема тела