Вычислить объем цилиндрического тела Вычисление площади криволинейной поверхности Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах бВычислить массу дуги Вычислить момент инерции Вычислить повторный интеграл

Математика курсовая. Дифференциальные уравнения, интегралы

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Пусть СДУ в нормальной форме  задана в области  – прямое произведение интервала  изменения  и множества  значений координат ; , .

Всякое решение СДУ , может быть представлено как годограф вектор-функции , .
Поскольку компоненты – непрерывные функции на , то годограф  есть непрерывная кривая в . Итак, всякому решению СДУ -го порядка соответствует интегральная кривая ,  в .

Пусть  – произвольное значение аргумента, . Тогда в соответствующей точке  интегральной кривой вектор  определяет направление касательной к интегральной кривой в рассматриваемой точке. Поэтому задание СДУ (4) в области  эквивалентно заданию поля направлений в области . Задача решения СДУ при такой интерпретации сводится к восстановлению интегральных кривых по
известному полю направлений касательных к этим кривым.

Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

ПРИМЕР 2.  – СДУ в нормальной форме второго порядка в пространстве переменных  задает поле направлений . Легко проверить, что вектор-функция  
является решением системы на . Ему соответствует интегральная кривая ,  в  – годограф , .

Если   – время, то точка  при ориентированном изменении , , движется по интегральной кривой, ориентируя ее соответствующим образом.

Ориентируемая дуга интегральной кривой СДУ называется траекторией СДУ.

Поскольку понятия линейной зависимости и независимости системы решений ОЛДУ  отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной независимости системы решений ,  ОЛДУ.

Найти ФСР ОЛДУ . Записать общее решение. По НУ:   выделить частное решение.

Итак, для нахождения общего решения НЛДУ нужно

Решить 

СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций


Вычисление объема тела