Предел, непрерывность ФНП
Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при
, теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при
и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть использованы для ФНП.
ПРИМЕР 6. Вычислить
.
Решение. Преобразуем выражение
, получаем
.
ПРИМЕР 7. Вычислить
.
Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом
, а также вычислим
.
Окончательно получим по теореме "о произведении пределов"
.
ФНП
– непрерывна в точке
, если она определена в некоторой окрестности точки
и
или
, где
,
.
Следует различать непрерывность ФНП по совокупности переменных и непрерывность по отдельной координате.