Дифференциалы Интегрирование функцийПостроить схематично график функции Вычисление интеграла Вычисление площади плоской фигуры Площадь плоской фигуры в полярных координатах Вычисление объема тела

Математика курсовая. Дифференциальные уравнения, интегралы

Типовые задачи

Вычисление криволинейных интегралов I рода

Длина дуги

а)  Длина дуги в декартовых координатах

ПРИМЕР 3. Вычислить длину одного витка винтовой линии , , .

Решение. Винтовая линия – траектория точки, "поднимающейся" по круговому цилиндру со скоростью . Длину одного витка  найдем, если вычислим

.

б) Длина плоской дуги в полярных координатах

Пусть ,  – дуга на плоскости  ().
Выведем формулу для вычисления ее длины.

Поскольку  параметр , то

. Поэтому

.

ПРИМЕР 4. Вычислить длину кардиоиды

.

Решение. Используя симметрию кривой, получим

.


Вычисление криволинейных интегралов